Фукс, Лазарь Иммануэль

Лазурус Иммануэль Фукс

Lazarus Immanuel Fuchs

(05.05.1833, Мосин — 26.04.1902, Берлин)

немецкий математик, член Берлинской академии наук (1884), член-корреспондент Петербургской академии наук (1895)

Основные исследования по теории линейных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами, все решения которых обладают т. н. регулярными особыми точками (уравнения классов Фукса).

Открыл (1884) феномен перемещающихся особых точек. Создал научную школу в области линейных дифференциальных уравнений.

Его имя носят класс уравнений, группы Фукса изометрий гиперболической плоскости и ряд теорем (теорема Римана-Фукса).

Большая Энциклопедия: В 20 т. — СПб.: Тип. Книгоиздательского Т-ва "Просвещение", 1900—1905

Фуксъ, Иммануэль Лазарусъ, извѣстный германскiй математикъ, род. 1833; съ 1884 проф. въ берлинскомъ университетѣ. Большинство его работъ трактуютъ теорiю функцiи; особенно много сдѣлалъ онъ въ теорiи линейныхъ дифференцiальныхъ уравненiй. По смерти Кронекера (1891), принялъ редакцiю журнала "Journal fur die reine und angewandte Mathematik".

Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. Издательство: Семёновская Типография (И.А. Ефрона). — СПб., 1890—1907

Фуксъ (Иммануель-Лазарусъ Fuchs) — германскiй математикъ. Родился въ 1833 г. Въ 1858 г. докторъ философiи за диссертацiю «De superficierum lineis curvaturae». Былъ съ 1860 по 1867 г. учителемъ въ разныхъ среднеучебныхъ заведенiяхъ Берлина. Чтенiе лекцiй Ф. началъ съ 1865 г. въ берлинскомъ университетѣ, сперва въ званiи приватъ-доцента, а потомъ съ 1866 г. — профессоръ. Въ 1869 году перешелъ сперва въ грейфсвальдскiй, потомъ въ геттингенскiй и съ 1875 г. въ гейдельбергскiй университетъ. Изъ многочисленныхъ учено-литературныхъ его произведенiй назовемъ: «Ueber die Perioden aus den Wurzeln d. Gleichung nn=1' gebild. Perioden, wenn n eine zusammengesetze Zahl ist» (Grelle, «Journal für die reine und angew. Mathem.», LXI, 1863); «Aus Einheitswurzeln gebildete complexe periodsch. Zahlen» (тамъ же, LXV, 1866); «Lin. Different.-Gleich. mit ver ä nderl. Coeffic.» (тамъ же, LXVI и LXVIII, 1866 и 1868); «Periodicit ä tsmoduln d. hyperelliptisch. Integr.» (тамъ же, LXXI, 1870); «Form der Argumente d. θ -Funct. und über θ (о, о,..., o)» (тамъ же, LXXIII, 1871); «Die Different.-Gleich. f ür d. Periodicitätsmoduln d. Abels'schen Integr. und für θ (о, о,.., o)» (тамъ же); «Darstell. d. Funct. complexer Variabeln» (тамъ же, LXXV и LXXVI, 1873); «Abbildung durch algebr. Funct.» (тамъ же, LXXVII и LXXVIII, 1874); «Lin. Diff.-Gleich. 2 Ordn. mit algebr. Integralen» (там же, LXXXI и LXXXV, 1876 и 1878); «Integrales d. équations differ. pour les modules de périodicité des intégrales ellipt. d. 2 premières espè ces» (тамъ же, LXXXIII, 1877); «Ueber e. Classe v. Functionen mehrerer Variabeln, welche durch Umkehrung d. Integrale v. L ö sungen d. linearen Diff.-Gleich, mit rationalen Coefficienten entstehen» (тамъ же, LXXXIX, 1880); «Ueber e. Classe v. Differentialgleichungen, welche durch Abel'sche oder ellipt. Functionen integrirbar sind» («Göttinger Nachrichten», 1878); «Equations diff. linéaires qui admettent d. intégrales dont les différentielles logarithmiques sont des fonctions doublement périodiques» («Journal de mathém. pures et appl. par. Liouville», IV, 1878); «Equations diff. lin. du 2 ordre» («Comp. rend. de l'Académie des sc. de Paris», LXXXII и LXXXIII, 1876); «Ueber Functionen e. belieb. Anzahl unabh äng. Veränderl., welche durch Umkehrung der Integrale e. gleich grossen Anzahl gegebener Functionen entstehen» («Sitzungsberichte der Kgl. preuss. Akad. der Wissensch.», 1883); «Ueber Functionen v. 2 Variabeln, welche durch Umkehrung d. Integrale v. 2 gegeb. Funct. entstehen» («Abhandlungen d. Königl. Gesellschaft d. Wissensch. zu Gö ttingen», 1881).

Изъ сочиненiй Ф., вышедшихъ отдѣльно, укажемъ на «Zur Theorie d. linearen Differentialgleichungen» (части I—IV; Б. 1888—90) и «Ueber lineare Differentialgleichungen, welche v. Parametern unabh ä ng. Substitutionsgruppen besitzen» (ч. I, Берл., 1892). Ф. также помѣстилъ въ «Journ. f ü r die reine und angew. Math.» некрологи Гельмгольца, Келе, Дингера, Шлефли, Шеринга, Брiоски и Эрмита.

В. В. Бобынинъ

Большой Энциклопедический словарь (БЭС)

ФУКС (Fuchs) Иммануил Лазарус (1833—1902) — немецкий математик. Основные исследования по теории линейных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами, все решения которых обладают только т. н. регулярными особыми точками (уравнения классов Фукса). Открыл (1884) феномен перемещающихся особых точек. Создал научную школу в области линейных дифференциальных уравнений.

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Lazarus Immanuel Fuchs

Дата рождения:	5 мая 1833
Дата смерти:	26 апр. 1902 (68 лет)
Научная сфера:	дифференциальные уравнения
Место работы:	Берлинский университет имени Гумбольдта, Объединённая артиллерийско-инженерная школа, Грайфсвальдский университет, Гёттингенский университет и Гейдельбергский университет
Учёная степень:	докторская степень (2 авг. 1858) и Хабилитация (август 1865)
Альма-матер:	Берлинский университет
Научный руководитель:	Карл Вейерштрасс
Известные ученики:	Эдмунд Ландау, Исай Шур, Эрнст Цермело

Лазарь (Лазарус) Иммануэль Фукс (нем. Lazarus Immanuel Fuchs, 5 мая 1833, Мосина — 26 апр. 1902, Берлин) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Признанный авторитет в области линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка, где создал обширную научную школу. Член Берлинской академии наук с 1884. Работы Фукса оказали большое влияние на Феликса Клейна, Камилла Жордана, Анри Пуанкаре; эти работы заложили основу для создания современной теории дифференциальных уравнений.

Биография

Лазарь Фукс родился в Мосине (ныне Польша). В 1858 закончил Берлинский университет. В этом же году защитил диссертацию под руководством Карла Вейерштрасса.

1865—1869: профессор (первый год — приват-доцент) Берлинского университета.
1869—1874: профессор Грайфсвальдского университета.
1874—1875: профессор Гёттингенского университета.
1875—1884: профессор Гейдельбергского университета.

С 1884 Фукс вернулся в Берлинский университет, где занял место умершего Куммера. В Берлине он преподавал до конца жизни. С 1892 был редактором ведущего немецкого математического журнала «Journal für die reine und angewandte Mathematik».

Научная деятельность

Основные достижения Фукса получены в области линейных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Открыл т. н. «перемещающиеся особые точки» (1884). Ввёл понятие «фундаментальной системы» для описания линейно независимых решений линейных дифференциальных уравнений.

Его имя носят изучавшийся им класс уравнений, группы Фукса изометрий гиперболической плоскости, уравнение Пикара-Фукса и ряд теорем.

Труды

Über Funktionen zweier Variabeln, welche durch Umkehrung der Integrale zweier gegebener Funktionen entstehen. Göttingen, 1881.
Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. Berlin, 1901.
Gesammelte Werke. Hrsg. von Richard Fuchs und Ludwig Schlesinger. 3 Bde. Berlin, 1904—1909.

Литература

Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник.— Киев: Наукова думка, 1983.
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX в., в трёх т.— М.: Наука.

Ссылка

Immanuel Lazarus Fuchs — Wikipedia

ФУКСА УРАВНЕНИЕ

Уравнение класса Фукса — линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение в комплексной области

с аналитич. коэффициентами, все особые точки к-рого на Римана сфере являются регулярными особыми точками. Для того чтобы уравнение (1) принадлежало классу Фукса, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты имели вид

где z₁, ..., z_k - различные точки, q_j(z) - многочлен степени Система w' = A(z)w из уравнений принадлежит классу Фукса, если она имеет вид

где z₁, ..., z_k - различные точки, — постоянные матрицы порядка Особыми для уравнения (1) и системы (2), являются точки z₁, ..., z_k, оо (бесконечность). Для Ф. у. (1) справедливо тождество Фукса:

где -характеристич. показатели в точке z_m, а -в точке Ф. у. (и системы) наз. также регулярными уравнениями (системами). Этот класс уравнений и систем был введен Л. Фуксом [1].
Пусть D - сфера Римана с проколами в точках z₁, ..., z_k, Любое нетривиальное решение Ф. у. (1) (соответственно любая компонента решения системы (2)) есть аналитическая в области D функция. Как правило, эта функция бесконечнозначна, а все особые точки уравнения (1) (системы (2)) являются ее точками ветвления бесконечного порядка.
Ф. у. 2-го порядка с особыми точками имеет вид

где Q_k-2 (z) — многочлен степени k-2. Преобразование переводит Ф. у. в Ф. у., причем

а характеристич. показатели в остальных особых точках не меняются. С помощью таких преобразований уравнение (3) приводится к виду

Ф. у. 2-го порядка, имеющее N особых точек, полностью определяется заданием характеристич. показателей в этих точках тогда и только тогда, когда N<4. С помощью дробно-линейного преобразования уравнение приводится к виду: a) N=1,б) N=2, (Эйлера уравнение); в) N=3 — Папперица уравнение (или уравнение Римана).
Матричное Ф. у. имеет вид

где z₁, ..., z_k — различные точки, W- матрица-функция порядка — постоянные матрицы. Матрица U_т наз. дифференциальной подстановкой в точке z_m. Пусть — простая замкнутая кривая с началом в неособой точке b, положительно ориентированная и содержащая внутри себя только одну особую точку z_m. Если W(z) — голоморфное в точке b решение уравнения (4), то при аналитич. продолжении вдоль где V_т — постоянная матрица, наз. интегральной подстановкой в z_т. А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [2]) поставил для систем вида (4) задачу, к-рая наз. прямой регулярной задачей Пуанкаре. Она состоит из следующих трех задач:
A) представление решения W(z) во всей области его существования;
Б) построение интегральных подстановок в точках 2_m;
B) аналитич. характеристика особенностей решений.
В частности, решение задачи Б) позволяет построить группу монодромии уравнения (4). Решение задачи Пуанкаре было получено И.А. Лаппо-Данилевским [3]. Пусть —
гиперлогарифмы:

W₀(z) - элемент (росток) в точке Ь решения уравнения (4), нормированный условием W₀(b)=I и W(z) — аналитическая в области . матрица-функция, порожденная этим элементом. Тогда W(z) есть целая функция от матриц U₁,. . ., U_k и разлагается в ряд

к-рый сходится равномерно по z на любом компакте Интегральная подстановка V_m в точке z_m, отвечающая решению W(z), есть целая функция от матриц U₁...., U_k и разлагается в ряд

где P_j выражаются через гиперлогарифмы (см. [3], [6]).
Получены также формулы, дающие решение задачи В) (см. [3]).

Лит.: Fuchs L., лJ. reine und angew. Math. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов, 1977—1985

ФУКСОВА ГРУППА

— дискретная группа голоморфных преобразований (открытого) круга К на сфере Римана, т. е. круга или полуплоскости на комплексной плоскости. Чаще всего в качестве К берут верхнюю полуплоскость или единичный круг

В первом случае элементы Ф. г. являются дробно-линейными преобразованиями с действительными коэффициентами, и Ф. г. представляет собой не что иное, как дискретную подгруппу группы PSL₂. Во втором случае элементы Ф. г. являются дробно-линейными преобразованиями с псевдоунитарными матрицами.
Если рассматривать круг К как конформную модель плоскости Лобачевского, то Ф. г. может быть определена как дискретная группа его движений, сохраняющих ориентацию. Ф. г. представляют собой частный случай клейновых групп.
Произвольные Ф. г. впервые рассматривались А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [2]) в 1882 в связи с проблемой униформизации. Группы были названы им фуксовыми в честь Л. Фукса, работа [1] к-рого стимулировала введение этого понятия. Для описания Ф. г. Пуанкаре применил комбинаторно-геометрич. метод, ставший впоследствии одним из основных методов теории дискретных групп преобразований. Понятие Ф. г. послужило основой для теории автоморфных функций, созданной А. Пуанкаре и Ф. Клейном (F. Klein).
Ф. г., сохраняющая какую-либо точку в замыкании круга Кили прямую в смысле геометрии Лобачевского, наз. элементарной. Если Г — неэлементарная Ф. г., то множество L(Г) предельных точек рбиты точки лежащее на граничной окружности не зависит от их наз. предельным множеством группы Г. Группа Г наз. Ф. г. 1-го рода, если и 2-го рода — в противном случае (тогда L(Г) — нигде не плотное совершенное подмножество в
Конечно порожденная Ф. г. является Ф. г. 1-го рода тогда и только тогда, когда площадь (в смысле геометрии Лобачевского) ее фундаментальной области конечна. В качестве фундаментальной области такой группы Г всегда может быть выбран выпуклый многоугольник Р плоскости Лобачевского со сторонами a₁, b'₁, a'₁, b₁ ..., a_g, b'_g, a'_g, b_g, с₁, с'₁, ..., с _n, с'п таким образом, что

для нек-рых элементов

порождающих группу Г с определяющими соотношениями

где k_i- целое число или Элемент оставляет на месте вершину С _i многоугольника Р, общую сторонам с _i и c'_i. Он является эллиптическим, если и параболическим, если в последнем случае вершина С _i лежит на окружности т. е. является бесконечно удаленной точкой плоскости Лобачевского. Всякий эллиптич. или параболич. элемент группы Г сопряжен степени нек-рого однозначно определенного образующего Углы многоугольника Р при вершинах С _i, i = 1, ..., п, равны сумма всех остальных углов равна Стороны а _i и а'_i, а также b_i и b'_i, c_i и c'_i имеют одинаковую длину. Обратно, всякий выпуклый многоугольник на плоскости Лобачевского, удовлетворяющий этим условиям, является фундаментальным многоугольником описанного выше типа нек-рой конечно порожденной Ф. г. 1-го рода.
Всякая система образующих группы Г, к-рая получается описанным способом, наз. стандартной. При абстрактном изоморфизме конечно порожденных Ф. г. 1-го рода, отображающем множество параболич. элементов одной группы на множество параболич. элементов другой группы, всякая стандартная система образующих переходит в стандартную систему образующих.
Площадь фундаментальной области группы Г равна — где

Набор чисел (g;

₁, ..., k_n), где k₁, ..., k_n считаются неупорядоченными, является топологич. инвариантом группы Г как группы гомеоморфизмов круга и наз. ее сигнатурой. Единственным ограничением на сигнатуру является условие

Для подгруппы конечного индекса Ф. г. Г имеет место формула Римана - Гурвица:

Во всякой Ф. г. существует подгруппа конечного индекса, не имеющая элементов конечного порядка.
Факторпространство К/Г компактифицируется путем добавления конечного числа точек, соответствующих бесконечно удаленным вершинам фундаментального многоугольника. На компактифицированном пространстве. имеется единственная комплексная структура, для к-рой отображение факторизации голоморфно. При этом S является римановой поверхностью рода g, а отображение р- регулярным разветвленным накрытием с индексами ветвления k₁, ..., k_n. Обратно, теорема униформизации утверждает, что для любой компактной римановой поверхности S рода gс отмеченными точками х ₁, ..., х _п и для любых k₁..., ..., k_n(k_i- целое число или удовлетворяющих условию (*), существует регулярное голоморфное разветвленное накрытие ветвящееся в точности над точками x₁, ..., х _п с индексами ветвления k₁, ..., ..., k_n соответственно. Накрытие определено однозначно с точностью до автоморфизма круга К. Его группа скольжений есть Ф. г. сигнатуры (g; k₁, ..., k_n).
Конечно порожденные Ф. г. 1-го рода фиксированной сигнатуры (g; k₁, ..., k_n) могут быть параметризованы точками нек-рого (Зn-3+п)-мерного комплексного многообразия, гомеоморфного клетке, - т. н. пространства Тайхмюллера .(g; k₁, ...,k_n) (см. [4]). При атом двум точкам пространства Тайхмюллера соответствует одна и та же (с точностью до сопряженности в группе автоморфизмов круга) Ф. г. тогда и только тогда, когда эти точки эквивалентны относительно нек-рой дискретной группы голоморфных преобразований пространства Т(g; k₁, ..., k_n) — т. н. модулярной группы Mod (g; k₁..., k_n). Имеется изоморфизм

при к-ром группа Mod (g; k_l, ..., k_n) переходит в подгруппу конечного индекса группы
Если Ф. г. сигнатуры (g; k₁, ..., k_n) содержит подгруппу конечного индекса сигнатуры (h; l₁, ..., l_т), то пространство (g; k₁, ..., k_n) естественным образом вкладывается в виде замкнутого подмножества в пространство Т (h; l₁, ..., l_m). В нек-рых исключительных случаях эти пространства совпадают [10]. Напр., Т(2)=Т(0; 2, 2, 2, 2, 2, 2); это означает, что всякая компактная риманова поверхность рода 2 допускает гиперэллиптич. инволюцию и, значит, является гиперэллиптич. кривой.
Для Ф. г. сигнатуры (0; k₁, k₂, k₃), называемых треугольными группами, и только для них, пространство Тайхмюллера состоит из одной точки. Всякая треугольная группа является подгруппой индекса 2 в группе, порожденной отражениями относительно сторон треугольника с углами (см. Отражений группа). Примером треугольной группы служит модулярная группа Клейна; ее сигнатура равна
Всякая конечно порожденная Ф. г. 2-го рода топологически (как группа гомеоморфизмов круга) изоморфна конечно порожденной Ф. г. 1-го рода и допускает аналогичное геометрич. описание, с той разницей, что нек-рые пары сторон фундаментального многоугольника не имеют общих точек, даже бесконечно удаленных, а соответствующие образующие являются гиперболич. преобразованиями. Компактифицированное факторпространство представляет собой рима-нову поверхность с краем.
Всякая бесконечно порожденная Ф. г. является свободным произведением циклич. подгрупп. Ее фундаментальная область может быть построена как предел фундаментальных областей конечно порожденных групп (см. [5]).

Лит.: Fuchs L., лJ. reine und angew. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985

ТЕОРЕМА РИМАНА-ФУКСА

Решения уравнений класса Фукса продолжаются на универсальную накрывающую над комплексной осью t с выколотыми полюсами коэффициентов, задают группу монодромии и регулярны (растут не быстрее некоторой степени расстояния до особой точки в любом секторе с вершиной в этой точке). Оказывается, эти свойства присущи только решениям уравнений класса Фукса.

Теорема ([56]). Пусть росток голоморфной вектор-функции <р голоморфно продолжается на универсальную накрывающую над сферой Римана с выколотыми точками аь ..., ат, оо и, определитель Вронского продолженной вектор-функции (обозначаемой также <р) нигде не обращается в нуль. Пусть росток <р задает группу монодромии: при продолжении над каждой петлей, принадлежащей проколотой сфере Римана, линейное пространство, порожденное компонентами ростка, испытывает линейный автоморфизм. Пусть это продолжение регулярно: когда t стремится к выколотой точке а, оставаясь внутри некоторого сектора с вершиной а, модуль <р (t) растет не быстрее некоторой степени расстояния до а на сфере Римана. Тогда существует уравнение класса Фукса, для которого <р — росток фундаментальной системы решений.

Следствие 1. Любая алгебраическая функция одного переменного удовлетворяет уравнению класса Фукса.

4 Рассмотрим множество £2 неособых точек функции; пусть р&2 — произвольная точка. Обозначим через Ф,, ...,фт ростки голоморфных функций в точке р, соответствующие разным листам алгебраической функции. Выберем среди них максимальное число линейно независимых фь ..., Ф„ (п может быть т. меньше т; пример: t ). Росток Ф = (ФЬ ...,Ф„) продолжается на универсальную накрывающую У и порождает группу монодромии: листы алгебраической функции при продолжении вдоль петель переставляются. Определитель Вронского вектор-функции Ф (обозначаемый W) умножается на константу (равную определителю преобразования монодромии); поэтому W=0 над. конечным числом точек их следует тоже выколоть.

Регулярность алгебраической функции в особых точках доказывается элементарно. Тем самым, можно применить предыдущую теорему. ►

Следствие 2. Абелев интеграл, зависящий от параметра рассмотренный в п. 5.2 главы 6, удовлетворяет уравнению класса Фукса (соответствующее уравнение называется уравнением Пикара-Фукса).

Докажем это, полагая, что Я — правильный многочлен. Точками ветвления интеграла являются критические значения Я и оо; монодромия описывается теоремой Пикара—Лефшепа; регулярность доказывается элементарно.

Приложения

КУММЕР (Kummer) Эрнст Эдуард (1810—93), нем. математик, ин. ч.-к. Петерб. АН (1862). Один из создателей теории алгебр. чисел. Тр. по геометрии, матем. анализу, теоретич. механике.

ЖОРДАН (Jordan) Камиль (1838—1922), франц. математик, ин. ч.-к. Петерб. АН (1895). Тр. по алгебре, теории ф-ций, топологии и кристаллографии.

Советский Энциклопедический Словарь. 1980

См. ► Фукс в 14—19 вв. Однофамильцы

Условия использования материалов